Question

已知函數（其中為自然對數的底數）.
（1）求函數的單調區間；
（2）定義：若函數在區間上的取值范圍為，則稱區間為函數的“域同區間”.試問函數在上是否存在“域同區間”？若存在，求出所有符合條件的“域同區間”；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）單調遞增區間為和，單調遞減區間為；（2）詳見解析.

試題分析：（1）先求出函數的定義域與導數，求出極值點，解有關導數的不等式，從而確定函數的單調增區間和減區間；（2）結合（1）中的結論可知，函數在區間上單調遞增，根據定義得到，，問題轉化為求方程在區間上的實數根，結合導數來討論方程在區間上的實根的個數，從而確定函數在區間上是否存在“域同區間”.
試題解析：（1），定義域為，
且，
令，即，解得或；令，即，解得，
故函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；
（2）由（1）知，函數在區間上是單調遞增函數，
假設函數在區間上存在“域同區間”，則有，，
則方程在區間上有兩個相異實根，
構造新函數，定義域為，
則，
設，則，
當時，，則恒成立，
因此函數在區間上單調遞增，，，
故函數在區間上存在唯一零點，則有，
當時，；當時，，
故函數在區間上是單調遞減函數，在區間上是單調遞增函數，
因為，，，
所以函數在區間有且只有一個零點，
這與方程有兩個大于的實根相矛盾，所以假設不成立！
所以函數在區間上不存在“域同區間”.