Question

【題目】如圖，橢圓E： =1（a＞b＞0）經過點A（0，﹣1），且離心率為 ． （I）求橢圓E的方程；
（II）經過點（1，1），且斜率為k的直線與橢圓E交于不同兩點P，Q（均異于點A），問直線AP與AQ的斜率之和是否為定值，若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意知 ，b=1，結合a2=b2+c2 ， 解得 ， ∴橢圓的方程為 ；
（Ⅱ）由題設知，直線PQ的方程為y=k（x﹣1）+1 （k≠2），代入 ，得
（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）=0，
由已知△＞0，設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），x1x2≠0，
則 ， ，
從而直線AP與AQ的斜率之和：

=
=
【解析】（Ⅰ）由題意可得b=1，結合橢圓的離心率及隱含條件求得a，則橢圓E的方程可求；（Ⅱ）設出直線PQ的方程，聯立直線方程和橢圓方程，然后借助于根與系數的關系整體運算得答案．