Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，在△ABC中，CM是∠ACB的平分線，△AMC的外接圓O交BC于點N．若AC=

1

2

AB，求證：BN=2AM．

Answer 1

分析：連接MN，AN，結合圓內接四邊形的性質定理可證得△BMN∽△BCA，進而根據已知中 AC=

1

2

AB，及相似三角形的性質可得MN=

1

2

BN，進而根據圓周角定理，及CM是∠ACB的平分線，證得答案．

解答：證明：連接MN，AN
由圓內接四邊形的性質定理可得：
∠BNM=∠BAC，∠BMN=∠BCA
∴△BMN∽△BCA
∴BA：AC=BN：MN
又∵AC=

1

2

AB
∴MN=

1

2

BN
∵∠MNA=∠MCA，∠MAN=∠MCN，CM是∠ACB的平分線，
∴∠MNA=∠MAN
∴MN=MA
∴AM=

1

2

BN
∴BN=2AM

點評：本題考查的知識點是圓周角定理，相似三角形的判定和性質，圓內接四邊形性質定理，其中判斷出△BMN∽△BCA是解答本題的關鍵．