Question

【題目】已知四棱錐 (圖1)的三視圖如圖2所示，為正三角形，垂直底面，俯視圖是直角梯形．

圖1 圖2

(1)求正視圖的面積；

(2)求四棱錐的體積；

(3)求證：平面.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明略．

【解析】

試題（1）先根據幾何體的三視圖得到幾何體的幾何特征，再求出幾何體的高，進而可以求解；（2）利用四棱錐的體積公式進行求解；（3）先利用線面垂直的性質和勾股定理得到線線垂直，再利用線面垂直的判定定理進行證明．

試題解析：（1）過作，根據三視圖可知，是的中點，且,.

又∵為正三角形，

∴，且，

∴.

∵平面，平面，∴.

∴，即

正視圖的面積為.

（2）由（1）可知，四棱錐的高，

底面積為，

∴四棱錐的體積為.

（3）證明：∵平面，平面，∴.

∵在直角三角形中，，

在直角三角形中，，

∴，∴是直角三角形，

∴，又∵，∴平面.