Question

已知數列{a_n}是各項均不為0的等差數列，公差為d，S_n為其前n項和，且滿足

a

2 n

=S2n-1，n∈N*．數列{b_n}滿足bn=

1

an•an+1

，T_n為數列{b_n}的前n項和．
（I）求a₁，d和T_n；
（II）若對任意的n∈N^*，不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）在

a

2 n

=S2n-1中，令n=1，n=2，得

a12=a1 (a1+d)2=3a1+3d

，解得a_n=2n-1，由足bn=

1

an•an+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，能求出a₁，d和T_n．
（II）當n為偶數時，要使不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，即需不等式λ＜

(n+8)(2n+1)

n

=2n+

8

n

+17恒成立．由此解得λ＜25；當n為奇數時，要使不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，需不等式λ＜

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15恒成立，解得λ＜-21．由此能夠求出λ的取值范圍．

解答：解：（I）在

a

2 n

=S2n-1中，令n=1，n=2，
得

a12=S1 a22=S3

，即

a12=a1 (a1+d)2=3a1+3d

，
解得a₁=1，d=2，（3分）

∴an=2n-1. ∵bn= 1 anan+1 = 1 (2n-1)(2n+1) = 1 2 ( 1 2n-1 - 1 2n+1 )， ∴Tn= 1 2 (1- 1 3 + 1 3 - 1 5 +…+ 1 2n-1 - 1 2n+1 )= n 2n+1 ．…(6分)

（II）（1）當n為偶數時，要使不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，
即需不等式λ＜

(n+8)(2n+1)

n

=2n+

8

n

+17恒成立．
∵2n+

8

n

≥8，等號在n=2時取得．
∴此時λ需滿足λ＜25．（8分）
（2）當n為奇數時，要使不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，
即需不等式λ＜

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15恒成立．
∵2n-

8

n

是隨n的增大而增大，
∴n=1時2n-

8

n

取得最小值-6．
∴此時λ需滿足λ＜-21．（10分）
綜合（1）（2）可得λ＜-21
∴λ的取值范圍是{λ|λ＜-21}．（12分）

點評：本題考查等差數列的首項、公差的求法，考查數列前n項和的求法，考查實數的取值范圍的求法，考查數列與不等式的綜合運用．解題時要認真審題，注意迭代法、裂項求和法、等價轉化法的合理運用．