Question

【題目】兩縣城和相距，現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外位于線段上選擇一點(diǎn)建造一個(gè)兩縣城的公共垃圾處理廠，已知垃圾處理廠對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離關(guān)系最大，其他因素影響較小暫時(shí)不考慮，垃圾處理廠對(duì)城和城的總影響度為對(duì)城與城的影響度之和. 記點(diǎn)到城的距離為，建在處的垃圾處理廠對(duì)城和城的總影響度為，統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理廠對(duì)城的影響度與所選地點(diǎn)到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)2.7；垃圾處理廠對(duì)城的影響度與所選地點(diǎn)到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)為 ；且當(dāng)垃圾處理廠與城距離為時(shí)對(duì)城和城的總影響度為0.029.

(1) 將表示成的函數(shù)；

(2) 討論⑴中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷在線段上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城和城的總影響度最小？若存在，求出該點(diǎn)到城的距離；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；在線段AB上存在點(diǎn)符合題意，該點(diǎn)與城的距離.

【解析】

（1）先求出垃圾處理廠對(duì)城的影響度比例系數(shù)，然后根據(jù)題意求與的函數(shù)關(guān)系；

（2）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求解.

⑴據(jù)題意，，，

且建在處的垃圾處理廠對(duì)城的影響度為，

對(duì)城的影響度為，

因此總影響度．

又因?yàn)楫?dāng)垃圾處理廠與城距離為時(shí)

對(duì)城和城的總影響度為0.029.

所以．

所以．

(2)　因?yàn)?/span>．

由解得．

由解得

由解得

所以，隨的變化情況如下表：

		0
	↘	極小值	↗

由表可知，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，

故在線段AB上存在點(diǎn)，使得建在此處的垃圾處理廠對(duì)城和城的總影響度最小，

該點(diǎn)與城的距離．