Question

【題目】如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，，，，.

(Ⅰ)若點為的中點，求證:平面；

(Ⅱ)求四棱錐的體積.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)詳見解析(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)取的中點為，連結，,先利用線面平行的判定定理可證明∥平面、∥平面，從而可得平面∥平面，進而可得結果；(Ⅱ)連結交于，連結，先證明，結合，可得⊥平面，即四棱錐的高為，利用棱錐的體積公式可得結果.

(Ⅰ)取的中點為，連結，.

∵為等邊三角形，∴.

∵，，

∴，

∴，∴.

又∵平面，平面，

∴∥平面.

∵為的中點，為的中點，∴∥.

又∵平面，平面，

∴∥平面.

∵，∴平面∥平面.

又∵平面，∴∥平面.

(Ⅱ)連結交于，連結.

∵，

∴.為的中點.

又∵，，，∴.

又∵，∴，∴.

又∵，∴⊥平面，即四棱錐的高為，

∴四棱錐的體積.