Question

【題目】已知直線m：2x﹣y﹣3=0與直線n：x+y﹣3=0的交點為P．
（1）若直線l過點P，且點A（1，3）和點B（3，2）到直線l的距離相等，求直線l的方程；
（2）若直線l1過點P且與x，y正半軸交于A、B兩點，△ABO的面積為4，求直線l1的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 的交點為（2，1），

由直線l與A，B的距離相等可知，l∥AB或l過AB的中點，

∴由l∥AB得l的方程為 ，即x+2y﹣4=0，

由l過AB的中點得l的方程為x=2，

故x+2y﹣4=0或x=2為所求

（2）解：方法一：由題可知，直線l1的斜率k存在，且k＜0．

則直線l1的方程為y=k（x﹣2）+1=kx﹣2k+1．

令x=0，得y=1﹣2k＞0，

令y=0，得 ，

∴ ，解得 ，

故l1的方程為 ．

方法二：由題可知，直線l1的橫、縱截距a、b存在，且a＞0、b＞0，則 ，又l1過點（2，1），△ABO的面積為4，

∴ ，解得 ，故l1方程為 ，即

【解析】（1）由直線m，n聯立可得交點，由直線l與A，B的距離相等可知，l∥AB或l過AB的中點．（2）方法一：由題可知，直線l1的斜率k存在，且k＜0．則直線l1的方程為y=k（x﹣2）+1=kx﹣2k+1．分別求出直線的截距，即可得出．
方法二：由題可知，直線l1的橫、縱截距a、b存在，且a＞0、b＞0，則 ，又l1過點（2，1），△ABO的面積為4，可得 ，解出即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解點到直線的距離公式的相關知識，掌握點到直線的距離為：．