Question

【題目】設函數，，(其中).

（1）時,求函數的極值;

（2）證：存在，使得在內恒成立，且方程在內有唯一解.

Answer 1

【答案】(1) ；;(2)見解析.

【解析】

（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；

（Ⅱ）求出f（x）的導數，通過討論m的范圍，求出f（x）的單調區間，求出滿足條件的m的范圍，從而證出結論即可．

解：（I）當時, ,

令,得,,當變化時,的變化如下表:

		極大值		極小值

由表可知,；；

（II）設，，，若要有解，需有單減區間，則要有解

，由，，記為函數的導數

則 ，當時單增，令，由，得，需考察與區間的關系：

①當時，，，在上，單增，

故單增，，無解；

②當，時，，，因為單增，在上，在上

當時，

（i）若，即時，，單增，，無解；

（ii）若，即，，在上，，單減；，，在區間上有唯一解，記為；在上，單增 ，，當時，故在區間上有唯一解，記為，則在上，在上，在上，當時，取得最小值，此時

若要恒成立且有唯一解，當且僅當，即，由有

聯立兩式解得.綜上，當時，