Question

已知非零向量

a

，

b

的夾角為60°，且滿足|

a

-2

b

|=2，，則

a

•

b

的最大值為

1

．

Answer 1

分析：根據已知等式，平方得：

|a|

2-4

a

•

b

+4

|b|

2=4…（*），由向量

a

，

b

的夾角為60°，得

a

•

b

=

1

2

|a|

|b|

，代入（*）并化簡整理，得4+2

|a|

|b|

=

|a|

2+4

|b|

2，再利用基本不等式得到

|a|

|b|

≤2，得到當且僅當

|a|

=2

|b|

時，

a

•

b

的最大值為1．

解答：解：∵|

a

-2

b

|=2
∴|

a

-2

b

|2=(

a

-2

b

)2=4，即

|a|

2-4

a

•

b

+4

|b|

2=4…（*）
∵向量

a

，

b

的夾角為60°，
∴

a

•

b

=

|a|

|b|

cos60°=

1

2

|a|

|b|

代入（*），得

|a|

2-2

|a|

|b|

+4

|b|

2=4，所以4+2

|a|

|b|

=

|a|

2+4

|b|

2≥4

|a|

|b|

解之得：

|a|

|b|

≤2，當且僅當

|a|

=2

|b|

時，等號成立
∴

a

•

b

=

1

2

|a|

|b|

，

a

•

b

的最大值為1
故答案為：1

點評：本題給出向量等式，在已知兩個向量夾角為60度的情況下，求它們數量積的最大值，著重考查了平面向量數量積的公式和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．