Question

設a∈R，s：數列{（n-a）²}是遞增的數列；t：a≤1，則s是t的

必要不充分

條件．（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”中的一個）．

Answer 1

分析：在a∈R的前提下，看由數列{（n-a）²}是遞增的數列能否推出a≤1，再看由a≤1能否推出數列{（n-a）²}是遞增的數列．

解答：解：若數列{（n-a）²}是遞增的數列，
則（n+1-a）²-（n-a）²=（n+1）²-2a（n+1）+a²-n²+2an-a²
=n²+2n+1-2an-2a+a²-n²+2an-a²
=2n+1-2a＞0，即a＜n+

1

2

，因為n的最小值是1，所以當n取最小值時都有a＜

3

2

，則a≤1不成立．
又由（n+1-a）²-（n-a）²=（n+1）²-2a（n+1）+a²-n²+2an-a²
=n²+2n+1-2an-2a+a²-n²+2an-a²
=2n+1-2a．
因為n是大于等于1的自然數，所以當a≤1時，2n+1-2a，即數列{（n-a）²}中，從第二項起，每一項與它前一項的差都大于0，數列是遞增的數列．
所以，s是t的必要不充分條件．
故答案為必要不充分．

點評：本題考查了必要條件、充分條件與充要條件．
判斷充要條件的方法是：
①若p⇒q為真命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；
②若p⇒q為假命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；
③若p⇒q為真命題且q⇒p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；
④若p⇒q為假命題且q⇒p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．
此題是基礎題．