Question

已知離心率為的橢圓上的點到左焦點的最長距離為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，過橢圓的左焦點任作一條與兩坐標軸都不垂直的弦，若點在軸上，且使得為的一條內角平分線，則稱點為該橢圓的“左特征點”，求橢圓的“左特征點”的坐標．

Answer 1

（1）橢圓的方程為，其準線方程為；(2)．

試題分析：（1）由題意知：，解得，，
故橢圓的方程為，其準線方程為       4分
(2)設為橢圓的左特征點，橢圓的左焦點為，可設直線的方程為：，
聯立方程組，消去得，即，
設，則
∵被軸平分，∴，即，
，
即，
∴于是，

∵，∴，即，∴．
點評：中檔題，不必太其橢圓的標準方程，主要運用了橢圓的幾何性質，a,b,c,e的關系。曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題（2）涉及新定義問題，注意理解其實質內容。