Question

定義在R上的偶函數y=f（x）滿足：
①對任意x∈R都有f（x+2）=f（x）+f（1）成立；
②f（0）=-1；
③當x∈（-1，0）時，都有f^′（x）＜0．
若方程f（x）=0在區間[a，3]上恰有3個不同實根，則實數a的取值范圍是______．

Answer 1

∵函數y=f（x）為偶函數，即f（1）=f（-1），
令x=-1，又由對任意x∈R都有f（x+2）=f（x）+f（1）成立；
則f（1）=f（-1）+f（1），故f（1）=f（-1）=0，
則f（x+2）=f（x）即函數是一個以2為周期的周期函數，
又∵當x∈（-1，0）時，都有f^′（x）＜0．
故只有（2K+1，0）（k∈Z）為函數的零點，
若方程f（x）=0在區間[a，3]上恰有3個不同實根，
則三個實根分別為3，1，-1，
故a∈（-3，-1]，
故答案為：（-3，-1]．