Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側棱底面,底面是正三角形,

(1)求證:平面;

(2)求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析,(2)

【解析】

(1) 在線段上取一點.使.連結.利用線段成比例定理可以證明出線線平行以及數量關系,根據平行四邊形的判定定理和性質、線面平行的判定定理可以證明出本問；

(2) 以為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法可以求出直線與平面所成角的正弦值.

(1)證明:在線段上取一點.使.連結.

在中.因為,

所以,

所以,

所以，且,

因為.

所以,

所以且,

故四邊形為平行四邊形,所以,

又平面平面,

所以平面.

(2)以為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為底面是正三角形，,

所以點,

則,

設平面的法向量為.

由,

令.得平面的一個法向量為,

又,

設直線與平面BCF所成角的大小為.

則,

所以直線與平面所成角的正弦值為.