Question

已知直線m，l，平面α，β，且m⊥α，l?β．下列命題中，其中正確命題的序號是

①④

．
①若α∥β，則m⊥l；       ②若α⊥β，則m∥l；
③若m⊥l，則α∥β；       ④若m∥l，則α⊥β．

Answer 1

分析：由兩平行平面中的一個和直線垂直，另一個也和平面垂直得直線m⊥平面β，再利用面面垂直的判定可得①為真命題；
當直線與平面都和同一平面垂直時，直線與平面可以平行，也可以在平面內，故②為假命題；
當直線與平面都和同一平面垂直時，直線與平面可以平行，也可以在平面內，如果直線l在平面α內，則有α和β相交于l，故③為假命題．
由兩平行線中的一條和平面垂直，另一條也和平面垂直得直線l⊥平面α，再利用面面垂直的判定可得④為真命題；

解答：解：∵m⊥平面α且α∥β可以得到直線m⊥平面β，又由直線l?平面β，所以有l⊥m；即①為真命題；
因為直線m⊥平面α，且α⊥β可得直線m平行與平面β或在平面β內，又由直線l?平面β，所以l與m，可以平行，相交，異面；故②為假命題；
由直線m⊥平面α以及l⊥m可得直線l平行與平面α或在平面α內，又由直線l?平面β得α與β可以平行也可以相交，即為③假命題．
因為直線m⊥平面α且l∥m可得直線l⊥平面α，又由直線l?平面β可得α⊥β；即④為真命題；
所以真命題為①④．
故答案為：①④．

點評：本題是對空間中直線和平面以及直線和直線位置關系的綜合考查．重點考查課本上的公理，定理以及推論，所以一定要對課本知識掌握熟練，對公理，定理以及推論理解透徹，并會用．