Question

已知拋物線y=x²上有一定點A（-1，1）和兩動點P、Q，當PA⊥PQ時，點Q的橫坐標取值范圍是（　　）

A．（-∞，-3]

B．[1，+∞）

C．[-3，1]

D．（-∞，-3]∪[1，+∞）

Answer 1

設P（a，b） Q（x，y），
則

AP

=（a+1，b-1），

PQ

=（x-a，y-b）
由垂直關系得（a+1）（x-a）+（b-1）（y-b）=0
又P、Q在拋物線上即a²=b，x²=y，
故（a+1）（x-a）+（a²-1）（x²-a²）=0
整理得（a+1）（x-a）[1+（a-1）（x+a）]=0
而P和Q和A三點不重合即a≠-1 x≠a
所以式子可化為1+（a-1）（x+a）=0
整理得 a²+（x-1）a+1-x=0
由題意可知，此關于a的方程有實數解 即判別式△≥0
得（x-1）²-4（1-x）≥0解得x≤-3或x≥1
點Q的橫坐標取值范圍是（-∞，-3]∪[1，+∞）
故選：D