Question

【題目】已知橢圓，圓心為坐標原點的單位圓O在C的內部，且與C有且僅有兩個公共點，直線與C只有一個公共點.

（1）求C的標準方程；

（2）設不垂直于坐標軸的動直線l過橢圓C的左焦點F，直線l與C交于A，B兩點，且弦AB的中垂線交x軸于點P，試求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)根據單位圓O在C的內部,且與C有且僅有兩個公共點可得,再聯立與C求得二次方程令判別式等于0即可求得.

(2) 由題意設直線l的方程為,聯立直線l與橢圓的方程,再利用韋達定理與面積公式求得關于的面積的表達式,最后利用換元求導分析函數的最值即可.

解：（1）依題意,得

將代入橢圓的方程,得

由,解得

所以橢圓的標準方程為

（2）由（1）可得左焦點

由題意設直線l的方程為,

代入橢圓方程,得

設,則

所以,AB的中點為

設點,則,解得

故

令,則,且

設,則

所以,即的面積的最大值為