Question

已知函數y=

1-(x-1)2

，x∈[1，2]對于滿足1＜x₁＜x₂＜2的任意x₁，x₂，給出下列結論：
①f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁ 
②x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）；
③（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＜0
④（x₁-x₂）[f（x₂）-f（x₁）]＞0
其中正確結論的個數有（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：將函數表達式，化簡得（x-1）²+y²=1，其中x∈[1，2]，y≥0．作出它的圖象，得到以（1，0）為圓心，半徑為1的圓的上半圓的右半部分．再根據直線的斜率公式與函數的單調性，分別對各項中的結論加以驗證，可得②③為真命題而①④為假命題，即可得到本題答案．

解答：解：令y=

1-(x-1)2

，化簡得（x-1）²+y²=1，其中x∈[1，2]，y≥0
得函數的圖象為以（1，0）為圓心，半徑為1的圓的上半圓的右半部分，如圖所示
對于①，f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁等價于

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞1
觀察圖象，可得在圖象上任意取兩點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））
線段AB的斜率為負數，故不等式

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞1不成立，得①不正確；
對于②，注意到x₂、x₁都是正數，
不等式x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）等價于

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

，
結合1＜x₁＜x₂＜2，可得A、B兩點與原點的連線斜率滿足k_OA＞k_OB，②正確
對于③，由于函數y=

1-(x-1)2

在x∈[1，2]上為減函數，可得當x₂＜x₁時，f（x₂）＞f（x₁）．
因此（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＜0，可得③正確；
對于④，由于結論與③矛盾，故④不正確
綜上所述，正確的命題為②③
故選：B

點評：本題給出特殊函數，判斷幾個結論正確與否，著重考查了函數的單調性與圖象的作法、直線的斜率公式等知識，屬于中檔題．