Question

【題目】已知橢圓過點，右頂點為點．

（1）若直線與橢圓相交于點兩點（不是左、右頂點），且，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標；

（2）是橢圓的兩個動點，若直線的斜率與的斜率互為相反數，試判斷直線EF的斜率是否為定值？如果是，求出定值；反之，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1) 設（x1，y1），（x2，y2），聯立方程組根據根與系數的關系，利用，得到，即可得出;

(2) 設點坐標分別為，設直線EF的方程為，聯立方程得到，利用韋達定理表示，即可得到結果.

（1）設點坐標分別為，點坐標為，因為，則

，又，代入整理得

， （*）

由得，當時，方程兩根為，則有

，代入（*）得，

所以或，

當時，直線方程為，恒過點，不符合題意，舍去；

當時，直線方程為，恒過點，該點在橢圓內，則恒成立，

所以，直線過定點.

（2）設點坐標分別為，直線、EF的斜率顯然存在，

所以，設直線EF的方程為，同（1）

由得，（#）

當時，方程兩根為，則有，①

因為直線的斜率與的斜率互為相反數，則

，又，代入整理得

， ②

①代入②，化簡得，即

所以或，

當時，直線方程為，恒過點，不符合題意，舍去；

當時，方程（#）即，則時，，

所以當且時，恒成立，

所以，直線EF的斜率為定值.