Question

【題目】在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcosθ=4．
（Ⅰ）M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM||OP|=16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程；
（Ⅱ）設點A的極坐標為（2， ），點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）曲線C1的直角坐標方程為：x=4，
設P（x，y），M（4，y0），則 ，∴y0= ，
∵|OM||OP|=16，
∴ =16，
即（x2+y2）（1+ ）=16，
整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），
∴點P的軌跡C2的直角坐標方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．
（Ⅱ）點A的直角坐標為A（1， ），顯然點A在曲線C2上，|OA|=2，
∴曲線C2的圓心（2，0）到弦OA的距離d= = ，
∴△AOB的最大面積S= |OA|（2+ ）=2+ ．
【解析】（Ⅰ）設P（x，y），利用相似得出M點坐標，根據|OM||OP|=16列方程化簡即可；
（Ⅱ）求出曲線C2的圓心和半徑，得出B到OA的最大距離，即可得出最大面積．