【題目】M是正方體
的棱
的中點，給出下列四個命題：①過M點有且只有一條直線與直線
都相交；②過M點有且只有一條直線與直線都垂直；③過M點有且只有一個平面與直線都相交；④過M點有且只有一個平面與直線都平行；其中真命題是（ ）
A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③
【答案】C
【解析】
利用反證法說明①正確,通過直接作平面說明②④正確，直接作平面說明③錯誤.
由題意得直線
與
是兩條互相垂直的異面直線，點
不在這兩異面直線中的任何一條上，
假設過點有兩條直線與直線都相交，如圖，
設交點分別為
,則
四點共面，從而直線共面，與與異面矛盾，因此假設不成立；顯然過點多于兩條直線與直線都相交也不成立，故過M點有且只有一條直線與直線
都相交，①正確．
過點作直線
分別與直線平行，如圖，
因為直線異面，所以直線
必為相交直線，即可確定一個平面
，因為與直線都垂直的直線必垂直這個平面，而過點有且只有一條直線
與平面垂直，所以過M點有且只有一條直線與直線都垂直，故②正確．
因為點不在這兩異面直線中的任何一條上，所以平面與直線都平行，根據作法知平面只有一個，所以過點有且只有一個平面與直線都平行，故④正確．
在平面過點作直線
（與不重合）,如圖
則，確定的平面都與直線都相交，由有無數條，所以過M點有無數個平面與直線都相交，故③不正確．
故選：C
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【題目】如圖，
是半圓
的直徑，平面
與半圓所在的平面垂直，
，
， 
，
是半圓上不同于
，
的點，四邊形
是矩形．
（Ⅰ）若
，證明：
平面
；
（Ⅱ）若
，求三棱錐
體積的最大值．
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【題目】α，β是兩個不重合的平面，在下列條件中，可判斷平面α，β平行的是（ ）
A. m，n是平面
內兩條直線，且
，
B. 內不共線的三點到
的距離相等
C. ，都垂直于平面
D. m，n是兩條異面直線，
，
，且，
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【題目】已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.且滿足4cos2
cos2（B+C）
.
（1）求角A；
（2）若△ABC的面積為
，周長為8，求a.
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【題目】已知
， 
， 
， 
.給出以下三個命題：
①分別過點
， 
，作
的不同于
軸的切線，兩切線相交于點
，則點
的軌跡為橢圓的一部分；
②若
， 
相切于點
，則點
的軌跡恒在定圓上；
③若
， 
相離，且
，則與
， 
都外切的圓的圓心在定橢圓上.
則以上命題正確的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
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【題目】我國華南沿海地區是臺風登陸頻繁的地區，為統計地形地貌對臺風的不同影響，把華南沿海分成東西兩區，對臺風的強度按風速劃分為：風速不小于30米/秒的稱為強臺風，風速小于30米/秒的稱為風暴，下表是2014年對登陸華南地區的15次臺風在東西兩部的強度統計：
（1）根據上表，計算有沒有99%以上的把握認為臺風強度與東西地域有關；
（2）2017年8月23日，“天鴿”在深圳登陸，造成深圳特大風暴，如圖所示的莖葉圖統計了深圳15塊區域的風速.（十位數為莖，個位數為葉）
①任取2個區域進行統計，求取到2個區域風速不都小于25的概率；
②任取3個區域進行統計， 
表示“風速達到強臺風級別的區域個數”，求
的分布列及數學期望
.
附： 
，其中
.
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【題目】唐代詩人李欣的是
古從軍行
開頭兩句說“百日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”詩中隱含著一個有缺的數學故事“將軍飲馬”的問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區域為
，若將軍從
出發，河岸線所在直線方程
，并假定將軍只要到達軍營所在區域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A.
B.
C.
D.
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