Question

（2009•閔行區(qū)一模）如圖，直三棱柱OAB-O₁A₁B₁中，∠AOB=90°，M是側(cè)棱BB₁上一點，向量

a

=(1，  1，  -1)是平面OA₁M的一個法向量，則平面OAB與平面OA₁M所成二面角的銳角為

arccos

3

3

（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

分析：由已知中，向量

a

=(1，  1，  -1)是平面OA₁M的一個法向量，結(jié)合直三棱柱OAB-O₁A₁B₁中，∠AOB=90°，易得

b

=（0，0，1）為面OAB的一個法向量，代入向量夾角公式，求出平面OAB與平面OA₁M所成二面角的銳角的余弦值，進而可用反三角函數(shù)表示出平面OAB與平面OA₁M所成二面角的銳角．

解答：解：∵棱柱OAB-O₁A₁B₁為直三棱柱
∴OO₁⊥平面∠OAB，
結(jié)合∠AOB=90°，可以以O(shè)的坐標原點，建立如圖空間坐標系
則

b

=（0，0，1）為面OAB的一個法向量
又∵向量

a

=(1，  1，  -1)是平面OA₁M的一個法向量
設(shè)平面OAB與平面OA₁M所成二面角的銳角為θ，則
cosθ=

| a • b |

| a |•| b |

=

3

3

故平面OAB與平面OA₁M所成二面角的銳角為arccos

3

3

故答案為：arccos

3

3

點評：本題考查的知識點是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，其中建立空間坐標系，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵，在解答中易忽略所求出平面OAB與平面OA₁M所成二面角的銳角，而錯解為arccos-

3

3

．