Question

（2009•閔行區一模）已知以角B為鈍角的△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，

m

=(a，  2b)，

n

=(

3

，  -sinA)，且

m

⊥

n

．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+

3

cosA的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）兩個向量垂直的充要條件是它們的數量積等于零，因此

m

•

n

=

3

a-2bsinA=0，將此式用正弦定理變成適于sinA、sinB的等式，兩邊約去sinA，可得sinB的值，再結合三角形內角的條件，可得角B的大小；
（2）將式子sinA+

3

cosA化簡，合并為2sin(A+

π

3

)．由（1）得B=

2π

3

，根據三角形內角和定理，可得角A∈(0，

π

3

)，最后結合函數y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質，可得sinA+

3

cosA的取值范圍．

解答：解：（1）∵

m

⊥

n

．∴

m

•

n

=0，
得

3

a-2bsinA=0（2分）
由正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB，代入得：（3分）

3

sinA-2sinBsinA=0，sinA≠0，∴sinB=

3

2

，（ 5分）
因為B為鈍角，所以角B=

2π

3

．（7分）
（2）∵sinA+

3

cosA=2sin(A+

π

3

)，（10分）
由（1）知 A∈(0，

π

3

)，A+

π

3

∈(

π

3

，

2π

3

)，
∴sin(A+

π

3

)∈(

3

2

，1]，（12分）
故sinA+

3

cosA的取值范圍是(

3

，2]（14分）

點評：本題以三角函數為載體，考查了向量的數量積等知識，屬于中檔題．靈活運用三角形內角和的條件，并結合三角函數的性質是解決本題的關鍵．