Question

【題目】已知函數 的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調遞增區間和對稱中心坐標；
（3）將f（x）的圖象向左平移 個單位，再講橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，最后將圖象向上平移1個單位，得到函數g（x）的圖象，求函數y=g（x）在 上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由圖象可知 ，可得：A=2，B=﹣1，

又由于 = ﹣ ，可得：T=π，所以 ，

由圖象及五點法作圖可知：2× +φ= ，所以φ= ，

所以f（x）=2sin（2x+ ）﹣1

（2）解：由（1）知，f（x）=2sin（2x+ ）﹣1，

令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，

得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

所以f（x）的單調遞增區間為[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z，

令2x+ =kπ，k∈Z，得x= ﹣ ，k∈Z，

所以f（x）的對稱中心的坐標為（ ﹣ ，﹣1），k∈Z

（3）解：由已知的圖象變換過程可得：g（x）=2sin（x+ ），

因為0≤x≤ ，所以 ≤ ，

所以當x+ = ，得x= 時，g（x）取得最小值g（ ）=﹣2，

當x+ = ，即x=0時，g（x）取得最大值g（0）=

【解析】（1）由圖象可求A，B，T，利用周期公式可得 ，由圖象及五點法作圖可求φ，即可得解f（x）的函數解析式．（2）令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，解得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，可得f（x）的單調遞增區間，令2x+ =kπ，k∈Z，可求f（x）的對稱中心的坐標．（3）由已知的圖象變換過程可得：g（x）=2sin（x+ ），結合范圍0≤x≤ ，可求 ≤ ，利用正弦函數的圖象和性質即可計算得解．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角函數的最值的相關知識，掌握函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，．