Question

【題目】已知橢圓： （）的焦距為4，左、右焦點分別為、，且與拋物線： 的交點所在的直線經過.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）分別過、作平行直線、，若直線與交于， 兩點，與拋物線無公共點，直線與交于， 兩點，其中點， 在軸上方，求四邊形的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（I）由焦距可得，故橢圓與拋物線交點坐標為，利用橢圓的定義求得，利用解得，由此求得橢圓的方程；（II）設出直線的方程，聯立直線的方程和拋物線的方程，利用判別式小于零求得的取值范圍.聯立直線的方程和橢圓的方程，寫出韋達定理，寫出的弦長，求得兩條直線的距離，代入面積公式，化簡后利用基本不等式求取值范圍.

試題解析：

（Ⅰ）依題意得，則， .

所以橢圓與拋物線的一個交點為，

于是 ，從而.

又，解得

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）依題意，直線的斜率不為0，設直線： ，

由，消去整理得，由得.

由，消去整理得，

設， ，則， ，

所以 ，

與間的距離（即點到的距離），

由橢圓的對稱性知，四邊形為平行四邊形，

故 ，

令，則 ，

所以四邊形的面積的取值范圍為.