Question

如圖，雙曲線的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l₁，l₂，經過右焦點F垂直于l₁的直線分別交l₁，l₂于A，B兩點．又已知該雙曲線的離心率e=

5

2

．
（Ⅰ）求證：|

OA

|、|

AB

|、|

OB

|依次成等差數列；
（Ⅱ）若F(

5

，0)，求直線AB在雙曲線上所截得的弦CD的長度．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由雙曲線的離心率求得a和c的關系，進而求得b和a的關系，設∠AOF=∠BOF=θ，則tanθ可求得，利用正切的二倍角公式求得tan∠AOB，進而求得

AB

和

OA

的關系．令|

OA

|=3m，進而可表示出|

AB

|和|

OB

|，進而求得|

OA

|+|

OB

|=2|

AB

|，推斷出|

OA

|、|

AB

|、|

OB

|依次成等差數列．
（Ⅱ）由c，分別可求得a和b，進而求得雙曲線的方程，設直線AB的斜率為k，進而利用tan∠BFX求得k，進而求得AB的方程，與雙曲線方程聯立，消去y，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而根據弦長公式求得CD．

解答：解：（Ⅰ）由已知e2=

5

4

，即

c2

a2

=

5

4

，故a2=

4

5

c2①
從而b2=c2-a2=

1

5

c2②，
故

b

a

=

c 5

2c 5

=

1

2

設∠AOF=∠BOF=θ，則tanθ=

1

2

故tan∠AOB=tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

=

4

3

，
即

| AB |

| OA |

=

4

3

令|

OA

|=3m(m＞0)，則|

AB

|=4m，|

OB

|=5m，
滿足|

OA

|+|

OB

|=2|

AB

|，
所以，|

OA

|、|

AB

|、|

OB

|依次成等差數列
（Ⅱ）由已知c²=5，代入①，②得a²=4，b²=1，
于是雙曲線的方程為

x2

4

-y2=1
設直線AB的斜率為k，則k=tan∠BFX=tan∠AFO=cotθ=2
于是直線AB的方程為：y=2(x-

5

)
聯立

y=2(x- 5 ) x2 4 -y2=1

，消y得15x2-32

5

x+84=0
故弦CD的長度|CD|=

1+k2

•

△

15

=

5

×

(-32 5 )2-4×15×84

15

=

4

3

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，雙曲線的標準方程，雙曲線的性質．考查了學生對圓錐曲線基礎知識的掌握和靈活運用．