Question

如圖，雙曲線的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，兩條漸近線分別為l₁，l₂，經過右焦點F垂直于l₁的直線分別交l₁，l₂于A，B兩點．又已知該雙曲線的離心率．
（I）求證：依次成等差數列；
（II）若，求直線AB在雙曲線上所截得的弦CD的長度．

Answer 1

【答案】分析：（I）由雙曲線的離心率求得a和c的關系，進而求得b和a的關系，設∠AOF=∠BOF=θ，則tanθ可求得，利用正切的二倍角公式求得tan=∠AOB，進而求得和的關系令進而可表示出和，進而求得推斷出依次成等差數列．
（II）由c，分別可求得a和b，進而求得雙曲線的方程，設直線AB的斜率為k，進而利用tan∠BFX求得k，進而求得AB的方程，與雙曲線方程聯立，消去y，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而根據弦長公式求得CD．
解答：解：（I）由已知，即，故①
從而②，
故
設∠AOF=∠BOF=θ，則
故，
即令，則，，
滿足，
所以，依次成等差數列
（II）由已知c²=5，代入①，②得a²=4，b²=1，
于是雙曲線的方程為
設直線AB的斜率為k，則k=tan∠BFX=tan∠AFO=cotθ=2
于是直線AB的方程為：
聯立，消y得
故弦CD的長度
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，雙曲線的標準方程，雙曲線的性質．考查了學生對圓錐曲線基礎知識的掌握和靈活運用．