Question

【題目】已知函數f（x）=x3+3ax2+3x+1，當x∈[2，+∞），f（x）≥0恒成立，則實數a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】[﹣ ,+∞）
【解析】解：x∈[2，∞），f（x）≥0，

即x3+3ax2+3x+1≥0，

即x+ + ≥﹣3a．

令g（x）=x+ + ，

則g'（x）= ，

下面我們證g'（x）≥0在x∈[2，∞）恒成立，

也即x3﹣3x﹣2≥0在x∈[2，∞）上恒成立，

令h（x）=x3﹣3x﹣2，則h'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），

易知h'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，

∴h（x）在x∈[2，∞）上為增函數，

∴h（x）≥h（2）=0，也就是x3﹣3x﹣2≥0在x∈[2，∞）上恒成立，

∴g'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，g（x）在x∈[2，∞）為增函數，

∴g（x）的最小值為g（2）= ，

﹣3a≤g（2）= ，

解得a≥﹣ ，

所以答案是：[﹣ ，+∞）．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．