Question

【題目】已知橢圓的右焦點為，過且與軸垂直的弦長為3.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過作直線與橢圓交于兩點，問：在軸上是否存在點，使為定值，若存在，請求出點坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：

(1)由題意計算可得.則橢圓的標準方程為.

(2)假設存在點滿足條件，設其坐標為，設， ，分類討論：

當斜率存在時，聯立直線方程與橢圓方程有： ， .則.滿足題意時有： .解得.此時.驗證可得當斜率不存在時也滿足，

則存在滿足條件的點，其坐標為.此時的值為.

試題解析：

（1）由題意知， .

又當時， .

∴.

則.

∴橢圓的標準方程為.

（2）假設存在點滿足條件，

設其坐標為，設， ，

當斜率存在時，設方程為，

聯立 ， 恒成立.

∴， .

∴， .

∴

.

當為定值時， .

∴.

此時.

當斜率不存在時，

， ， .

， ，

.

∴存在滿足條件的點，其坐標為.

此時的值為.