Question

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且長軸長為4.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若是橢圓的左頂點(diǎn)，經(jīng)過左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求與的面積之差的絕對值的最大值.（為坐標(biāo)原點(diǎn)）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的最大值為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先由離心率的概念可得，然后由長軸長可得的值，進(jìn)而可得出所求的結(jié)果；（Ⅱ）首先設(shè)的面積為，的面積為，并分兩類討論：直線斜率不存在和直線斜率存在，分別聯(lián)立直線與橢圓的方程并表達(dá)出，然后結(jié)合基本不等式求解其最大值即可得出所求的結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）由題意得，又，則，所以.

又，故橢圓的方程為.

（Ⅱ）設(shè)的面積為，的面積為.

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)不妨設(shè)，，且，面積相等，.

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，設(shè)，，

和橢圓方程聯(lián)立得，消掉得.

顯然，方程有根，且.

此時(shí).

因?yàn)?/span>，所以上式（時(shí)等號成立）.

所以的最大值為.