Question

【題目】已知函數的值域為，記函數.

（1）求實數的值；

（2）存在使得不等式成立，求實數的取值范圍；

（3）若關于的方程有5個不等的實數根，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1,(2) ,(3)

【解析】

（1）利用配方法，結合二次函數的性質求得的值.

（2）將原問題轉化為“存在成立”，利用換元法，結合二次函數的性質，求得的取值范圍.

（3）首先判斷不是方程的根. 當時，利用換元法，將原方程轉化為.通過研究的單調性和值域，結合方程根的個數，求得的取值范圍，由此求得的取值范圍.

（1）因為，

即有時，，

即，解得..

（2）由已知可得，

由可轉化為，存在成立，

令，

則問題轉化為存在使不等式成立，

記，則.

（3）當，2時，，所以不是方程的根；

當時，令，

則當時，單調遞減，且，

當單調遞增，且，

當時，單調遞減，且，

當時，單調遞增，且，

故原方程有5個不等實根可轉化為

即為，

所以或，

當，方程有3個不等根，

故要使得原方程有5個不等實根，只要，即，

所以的取值范圍是.