Question

【題目】已知拋物線上一點到焦點的距離，傾斜角為的直線經過焦點，且與拋物線交于兩點、.

（1）求拋物線的標準方程及準線方程；

（2）若為銳角，作線段的中垂線交軸于點.證明：為定值，并求出該定值.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的方程為，準線方程為；

（2）為定值，證明見解析.

【解析】

（1）利用拋物線的定義結合條件，可得出，于是可得出點的坐標，然后將點的坐標代入拋物線的方程求出的值，于此可得出拋物線的方程及其準線方程；

（2）設直線的方程為，設點、，將直線的方程與拋物線的方程聯立，消去，列出韋達定理，計算出線段的中點的坐標，由此得出直線的方程，并得出點的坐標，計算出和的表達式，可得出，然后利用二倍角公式可計算出為定值，進而證明題中結論成立.

（1）由拋物線的定義知，，.

將點代入，得，得.

拋物線的方程為，準線方程為；

（2）設點、，設直線的方程為，

由，消去得：，則，

，.

設直線中垂線的方程為：，

令，得：，則點，，.

，

故為定值.