Question

9．在平面直角坐標系xOy中，直線l：y=2x-4．設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．
（1）若圓心C也在直線y=x-1上，求圓C的方程
（2）若過原點的直線m與圓C有公共點，求直線m的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立兩直線方程求出圓心坐標，直接代入圓的標準方程得答案；
（2）設(shè)出過原點的直線方程，由圓心到直線的距離等于半徑求得斜率，則答案可求．

解答 解：（1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-4}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$．
∴圓心坐標為（3，2），由半徑r=1，
∴圓C的方程為（x-3）²+（y-2）²=1；
（2）如圖，
設(shè)直線m的方程為y=kx，
由圓心（3，2）到直線kx-y=0的距離d=$\frac{|3k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，
解得k=$\frac{3±\sqrt{3}}{4}$．
∴過原點的直線m與圓C有公共點，直線m的斜率k的取值范圍是[$\frac{3-\sqrt{3}}{4}，\frac{3+\sqrt{3}}{4}$]．

點評 本題考查了圓的切線方程，點到直線的距離公式，以及圓與圓的位置關(guān)系的判定，是基礎(chǔ)題．