Question

已知，其中．
（1）當(dāng)時(shí)，證明；
（2）若在區(qū)間，內(nèi)各有一個(gè)根，求的取值范圍；
（3）設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和，，求，并判斷是否為等差數(shù)列？

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3），不是等差數(shù)列.

解析試題分析：（1）根據(jù)條件中，可得，，從而考慮采用作差法來比較兩者的大小：，再由條件中可知，即；（2）可將條件在區(qū)間，內(nèi)各有一個(gè)根等價(jià)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間，上各有一個(gè)零點(diǎn)，因此利用數(shù)形結(jié)合的思想可知，需滿足：
，則問題等價(jià)于在線性約束條件，求線性目標(biāo)函數(shù)的取值范圍，將線性約束條件表示的可行域畫出，即可得；（3）由題意可知，考慮到當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，
，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為
,從而可得，（），由p>0,q>0可知，故不是等差數(shù)列.
試題解析：（1），，       1分
∴，          3分
∵，∴，即，
∴；        4分
（2）拋物線的圖像開口向上，且在區(qū)間，內(nèi)各有一個(gè)根，
∴        6分
∴點(diǎn)（）組成的可行域如圖所示，        8分
由線性規(guī)劃知識(shí)可知，，即．        9分

（3）由題意可知，，．
當(dāng)時(shí)，，∴．          10分
當(dāng)時(shí)，，
∴        12分
∵，（），
∵，從而可知，，∴不是等差數(shù)列．        14分
考點(diǎn)：1.作差法比較代數(shù)式的大小；2.二次函數(shù)的零點(diǎn)分布；3.線性規(guī)劃；4.數(shù)列的通項(xiàng)公式.