Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，為的中點，平面，垂足是線段上的靠近點的三等分點.已知

（1）證明：；

（2）若點是線段上一點，且平面平面.試求的值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）利用已知條件證明面，再由線面垂直的性質定理即可得到證明；（2）建立空間直角坐標系，設，求出平面平面的法向量，由平面平面可知法向量也是互相垂直的，由數量積為0即可得到答案.

解：（1）∵，是的中點，∴，

面，

∴，

∴面，面，∴

(2)過點O作ON//BC交AB于點N，由已知可得ON，以ON,OD,OP所在直線為x軸和y軸和z軸建立空間直角坐標系，不妨設，則.

設，∴，

設面的法向量，∵點在面上所以

，即得

∴

設面法向量為，

，∴

兩個面垂直，所以他們的法向量也是互相垂直的，

解得；