Question

已知F₁(-2,0),F₂(2,0)，點P滿足|PF₁|-|PF₂|=2λ(λ為常數且0＜λ≠2).

(1)求P點的軌跡曲線E的方程；

(2)當0＜λ＜2時，過點M(-λ，0)作兩直線l₁、l₂與曲線E相交于A、B兩點，若MA·MB=0且AB恒過點F₂(2，0)時，求λ的值.

Answer 1

解：(1)當λ＞2時，不存在滿足條件的P，λ=2時，P的軌跡方程為y=0(x≥2);

當0＜λ＜2時，P點的軌跡方程為=1(x≥λ).                         

(討論少一種情況扣1分)

(2)由得=1,

即(4-λ²)x²-λ²k²(x²-4x+4)-λ²(4-λ²)=0.

設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)

∴(4-λ²-λ²k²)x²+4λ²k²x-λ²(4k²+4-λ²)=0,

∴x₁+x₂=,

x₁x₂=,

y₁y₂=k²(x₁-2)(x₂-2)=k²［x₁x₂-2(x₁+x₂)+4］,

=(x₁+λ,y₁),=(x₂+λ,y₂),

·=0(x₁+λ)(x₂+λ)+y₁y₂=0,即x₁x₂+λ(x₁+x₂)+λ²+y₁y₂=0.

∴x₁x₂+λ(x₁+x₂)+k²［x₁x₂-2(x₁+x₂)+4］+λ²=0.

∴+4k²+λ²=0,

∴=0,

16k²-4λ²k²-4λ²k⁴+4λ²-λ⁴-λ⁴k²+8λ²k⁴-4λ²k²-4λ²+λ⁴-4λ³k²-4λ²k⁴-4λ²k²+λ⁴k²=0,

化簡得：k²(-4λ³-12λ²+16)=0.

∵對任意實數k等式恒成立,

∴λ³+3λ²-4=0,∴λ³-λ²+4λ²-4=0,

∴λ²(λ-1)+4(λ+1)(λ-1)=0,∴(λ-1)(λ²+4λ+4)=0,∴(λ-1)(λ+2)²=0,

∴0＜λ＜2,∴λ=1.

此時，P的軌跡方程為x²=1(x≥1)，當k不存在時，經驗證也符合條件.