Question

(理)已知F₁(-2,0),F₂(2,0),點P滿足|PF₁|-|PF₂|=2,記點P的軌跡為E.

(1)求軌跡E的方程;

(2)若直線l過點F₂且與軌跡E交于P、Q兩點.

①無論直線l繞點F₂怎樣轉動,在x軸上總存在定點M(m,0),使MP⊥MQ恒成立,求實數m的值.

②過P、Q作直線x=的垂線PA、QB,垂足分別為A、B,記λ=,求λ的取值范圍.

(文)已知等差數列{a_n}中,a₁=-2,a₂=1.

(1)求{a_n}的通項公式;

(2)調整數列{a_n}的前三項a₁、a₂、a₃的順序,使它成為等比數列{b_n}的前三項,求{b_n}的前n項和.

Answer 1

答案：(理)解:(1)由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|,知點P的軌跡E是以F₁、F₂為焦點的雙曲線右支,由c=2,2a=2,∴b²=3.故軌跡E的方程為x²=1(x≥1).

(2)當直線l的斜率存在時,設直線方程為y=k(x-2),P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),與雙曲線方程聯立消去y,得(k²-3)x²-4k²x+4k²+3=0.

∴

①∵=(x₁-m)(x₂-m)+y₁y₂=(x₁-m)(x₂-m)+k²(x₁-2)(x₂-2)

=(k²+1)x₁x₂-(2k²+m)(x₁+x₂)+m²+4k²

==+m².

∵MP⊥MQ,∴=0.故得3(1-m²)+k²(m²-4m-5)=0對任意的k²＞3恒成立,

∴解得m=-1.∴當m=-1時,MP⊥MQ.

當直線l的斜率不存在時,由P(2,3),Q(2,-3)及M(-1,0),知結論也成立,綜上,當m=-1時,MP⊥MQ.

②∵a=1,c=2,

∴直線x=是雙曲線的右準線.由雙曲線定義,得|PA|=|PF₂|=|PF₂|,|QB|=|QF₂|.

∴λ==.

∵k²＞3,∴0＜＜,故＜λ＜.

注意到直線的斜率不存在時,|PQ|=|AB|,此時λ=.綜上,λ=[,).

(文)解：(1)由已知,得a₂-a₁=1-(-2)=3,∴{a_n}的公差d=3.∴a_n=a₁+(n-1)d=-2+3(n-1)=3n-5.

(2)由(1)得a₃=a₂+d=1+3=4,∴a₁=-2,a₂=1,a₃=4.依題意,可得數列{b_n}的前三項為b₁=1,b₂=-2,b₃=4或b₁=4,b₂=-2,b₃=1.

①當數列{b_n}的前三項為b₁=1,b₂=-2,b₃=4時,則q=-2,

∴S_n==[1-(-2)ⁿ].

②當數列{b_n}的前三項為b₁=4,b₂=-2,b₃=1時,則q=-.

∴S_n==[1-(-)ⁿ].