Question

設C₁，C₂，…，C_n，…是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線y=

3

3

x相切，對每一個正整數n，圓C_n都與圓C_n+1相互外切，以r_n表示C_n的半徑，以（λ_n，0）表示C_n的圓心，已知{r_n}為遞增數列．
（1）證明{r_n}為等比數列（提示：

rn

λn

=sinθ，其中θ為直線y=

3

3

x的傾斜角）；
（2）設r₁=1，求數列{

n

rn

}的前n項和S_n；
（3）在（2）的條件下，若對任意的正整數n恒有不等式Sn＞

9

4

-

an

rn

成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意可知tanθ=

3

3

，由同角三角函數的基本關系可得sinθ，從而得

rn

λn

，得r_n與λ_n的關系式①，再根據圓C_n都與圓C_n+1相互外切，得λ_n+1-λ_n=r_n+r_n+1②，由①②可得r_n+1與r_n的關系式，根據等比數列的定義可作出判斷；
（2）由（1）易求r_n，從而可得

n

rn

，利用錯位相減法可求得S_n；
（3）由（2）可表示出不等式Sn＞

9

4

-

an

rn

，分離出參數a后，轉化為求函數的最值即可，利用函數的單調性易求函數的最值；

解答：解：（1）證明：依題意可知tanθ=

3

3

，則sinθ=

1

2

，
所以

rn

λn

=

1

2

，得λ_n=2r_n，∴λ_n+1=2r_n+1，
又圓C_n都與圓C_n+1相互外切，
所以λ_n+1-λ_n=r_n+r_n+1，即2r_n+1-2r_n=r_n+r_n+1，從而可得r_n+1=3r_n，
故數列{r_n}為等比數列，公比為3．
（2）由于r₁=1，q=3，故rn=3n-1，從而

n

rn

=

n

3n-1

，
∴Sn=

1

r1

+

2

r2

+…+

n-1

rn-1

+

n

rn

=1+2•3^-1+3•3^-2+…+（n-1）•3^2-n+n•3^1-n①，

1

3

Sn=1•3-1+2•3-2+…+(n-1)•31-n+n•3-n②，
由①-②，得

2

3

Sn=1+3-1+3-2+…+•31-n-n•3-n=

1-3-n

1- 1 3

-n•3-n=

3

2

-(n+

3

2

)•3-n，
∴Sn=

9

4

-

(2n+3)•31-n

4

；
（3）由（2）可知Sn＞

9

4

-

an

rn

可化為

9

4

-

(2n+3)•31-n

4

＞

9

4

-

an

3n-1

，即a＞

2n+3

4n

=

1

2

+

3

4n

，
要使對任意的正整數n恒有不等式a＞

2n+3

4n

=

1

2

+

3

4n

成立，只需a＞[

1

2

+

3

4n

]max，
令f(x)=

1

2

+

3

4x

，則函數f（x）在（0，+∞）為單調遞減函數．
又n∈N^*，∴當n=1時，[

1

2

+

3

4n

]max=

5

4

，
∴a＞

5

4

．

點評：本題考查數列與不等式的綜合、數列與解析幾何的綜合，考查等比數列的定義及通項公式，考查轉化思想，對恒成立問題往往轉化為函數最值解決．