Question

定義：設P、Q分別為曲線C₁和C₂上的點，把P、Q兩點距離的最小值稱為曲線C₁到C₂的距離．
（1）求曲線C：y=x²到直線l：2x-y-4=0的距離；
（2）若曲線C：（x-a）²+y²=1到直線l：y=x-1的距離為3，求實數a的值；
（3）求圓O：x²+y²=1到曲線y=

2x-3

x-2

(x＞2)的距離．

Answer 1

分析：（1）設曲線C：y=x²的點P（x，x²），利用點到直線的距離公式和二次函數的單調性即可得出；
（2）由點到直線的距離的公式即可得出；
（3）由y=

2x-3

x-2

=2+

1

x-2

(x＞2)，可得曲線y=

2x-3

x-2

(x＞2)是中心在（2，2）的雙曲線的一支．由函數圖象的對稱性知，當P、Q是直線y=x和圓、雙曲線的交點時，|PQ|有最小值．解方程組

y= 2x-3 x-2 y=x

即可得到Q，進而得到所求距離d=|OQ|-1．

解答：解：（1）設曲線C：y=x²的點P（x，x²），
則d=

|2x-x2-4|

5

=

(x-1)2+3

5

，
∴當x=1時，d取得最小值

3 5

5

．
曲線C：y=x²到直線l：2x-y-4=0的距離為

3 5

5

．               
（2）由題意，得

|a-1|

2

=4，a=1±4

2

．                    
（3）∵y=

2x-3

x-2

=2+

1

x-2

(x＞2)，
∴曲線y=

2x-3

x-2

(x＞2)是中心在（2，2）的雙曲線的一支．   
由函數圖象的對稱性知，當P、Q是直線y=x和圓、雙曲線的交點時，|PQ|有最小值．
此時，解方程組

y= 2x-3 x-2 y=x

得Q（3，3），
于是|OQ|=3

2

，
∴圓O：x²+y²=1到曲線y=

2x-3

x-2

(x＞2)的距離為3

2

-1．

點評：本題考查了兩曲線的最小值問題、點到直線的距離公式、二次函數的單調性、直線與圓的相切問題等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．