Question

若有窮數(shù)列a₁，a₂，a₃，…，a_n（n是正整數(shù)），滿足a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁即a_i=a_n-i+1（i是正整數(shù)，且1≤i≤n），就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”．例如：數(shù)列1，2，3，3，2，1和數(shù)列1，2，3，4，3，2，1都為“對稱數(shù)列”．已知數(shù)列{b_n}是項數(shù)不超過2m（m＞1，m∈N*）的對稱數(shù)列，使得1，2，2²…2^m-1成為數(shù)列中連續(xù)的前m項，則數(shù)列{b_n}的前2013項和S₂₀₁₃所有可能的取值的序號為（　　）
①2²⁰¹³-1
②2（2²⁰¹³-1）
③2^m+1-2^2m-2013-1
④3•2^m-1-2^2m-2014-1．

A．①③

B．②④

C．①③④

D．②③④

Answer 1

分析：由新定義的對稱數(shù)列，和已知數(shù)列b_n是項數(shù)為不超過2m（m＞1，m∈N^*）的“對稱數(shù)列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數(shù)列中前連續(xù)的m項，故數(shù)列{b_n}的前2013項和需分情況討論，然后利用等比數(shù)列的前n項和定義直接可求得，從而判斷①②的正確與否；對于③④，先從等比數(shù)列的求和公式求出任意2m項的和，然后利用減法得到需要的前2013項的和，即可判斷．

解答：解：因為數(shù)列b_n是項數(shù)為不超過2m（m＞1，m∈N^*）的“對稱數(shù)列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數(shù)列中前連續(xù)的m項，
所以分數(shù)列的項數(shù)是偶數(shù)和奇數(shù)討論．
若數(shù)列含偶數(shù)項，則數(shù)列可設為1，2¹，2²，…，2^m-1，2^m-1，…，2²，2¹，1
當m-1≥2012時，S₂₀₁₃=

1×(1-22013)

1-2

=2²⁰¹³-1，所以①正確；
當1006≤m-1＜2012時，S₂₀₁₃=2

1×(1-2m)

1-2

-

1×(1-22m-2013)

1-2

=2^m+1-2^2m-2013-1，所以③正確；
若數(shù)列含奇數(shù)項，則數(shù)列可設為可設為1，2¹，2²，…，2^m-2，2^m-1，2^m-2…，2²，2¹，1
當m-1≥2012時，S₂₀₁₃=2²⁰¹³-1≠2（2²⁰¹³-1），故②錯誤；
當1006≤m-1＜2012時，所以S₂₀₁₃=2

1×(1-2m-1)

1-2

-

1×(1-22m-1-2013)

1-2

+2^m-1=3•2^m-1-2^2m-2014-1，所以④正確．
故選C．

點評：本題考查學生對于新題意，新定義的理解，以及等比數(shù)列的求和公式及學生的計算能力，屬中檔題．