Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）在（1）的條件下，求證：；

（3）當時，求函數在上的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）最大值為.

【解析】分析：（1）求出導數，寫出切線方程；

（2）利用導數求出的最小值，由最小值＞0得結論；

（3）求出導函數，其零點為，首先比較與的大小，得出的單調性，然后再比較大小得出最大值．

詳解：（1）當時，，所以，

切線方程為.

（2）由（1）知，則，當時時，；

當時，.

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

當時，函數最小值是，因此.

（3），令，則，當時，設，

因為，所以在上單調遞增，

且，所以在恒成立，即，

當，當；所以在上單調遞減，

在上單調遞增.所以在上的最大值等于，

因為，

設，所以.

由（2）在恒成立，所以在上單調遞增.

又因為，所以在恒成立，即，

因此當時，在上的最大值為.