Question

函數f（x）=ax³-6ax²+3bx+b，其圖象在x=2處的切線方程為3x+y-11=0。
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若函數y=f（x）的圖象與y=f′（x）+5x+m的圖象有三個不同的交點，求實數m的取值范圍；
（3）是否存在點P，使得過點P的直線若能與曲線y=f（x）圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積相等？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）由題意得
且
∴即
解得，b=3
∴；
（2）由可得


則由題意可得有三個不相等的實根，
即的圖象與x軸有三個不同的交點，
，則g（x），g′（x）的變化情況如下表：

則函數f（x）的極大值為
極小值為
的圖象與的圖象有三個不同交點，則有：

解得；
（3）存在點P滿足條件
∵
∴
由得，
當時，
當時，
當時，
可知極值點為，
線段AB中點在曲線上，
且該曲線關于點成中心對稱
證明如下：∵，
∴，

∴
上式表明，若點為曲線上任一點，其關于的對稱點也在曲線上，曲線關于點對稱
故存在點，使得過該點的直線若能與曲線圍成兩個封閉圖形，這兩個封閉圖形的面積相等。