Question

【題目】已知函數f（x）=2x﹣ ，且f（2）= ．
（1）求實數a的值；
（2）判斷該函數的奇偶性；
（3）判斷函數f（x）在（1，+∞）上的單調性，并證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=2x﹣ ，且f（2）= ，

∴4﹣ = ，

∴a=﹣1

（2）解：由（1）得函數 ，定義域為{x|x≠0}關于原點對稱

∵ = ，

∴函數 為奇函數

（3）解：函數f（x）在（1，+∞）上是增函數，

任取x1，x2∈（1，+∞），不妨設x1＜x2，則 =

∵x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2∴x2﹣x1＞0，2x1x2﹣1＞0，x1x2＞0

∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），

∴f（x）在（1，+∞）上是增函數

【解析】（1）利用f（x）=2x﹣ ，且f（2）= ，求實數a的值；（2）利用奇偶函數的定義判斷該函數的奇偶性；（3）判斷函數f（x）在（1，+∞）上的單調性，利用定義進行證明．
【考點精析】關于本題考查的函數單調性的判斷方法和函數的奇偶性，需要了解單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱才能得出正確答案．