Question

若S_n是等差數列{a_n}的前n項和，其首項a₁＞0，a₉₉+a₁₀₀＞0，a₉₉•a₁₀₀＜0，則使S_n＞0成立的最大自然數n是（　　）

• A、198
• B、199
• C、200
• D、201

Answer 1

分析：先根據a₉₉•a₁₀₀＜0，a₁＞0，a₉₉+a₁₀₀＞0，判斷出a₁₀₀＜0，利用等差數列通項公式可知a₁+99d＜0同乘以2得2a₁+199d＜0，即a₉₉+a₁₀₁＜0，根據a₉₉+a₁₀₀＞0，可知在連續相鄰的兩項中，a₉₉+a₁₀₀＞0之后的和都將小于0．要使S_n＞0成立，取最大自然數，n滿足 a₉₉+a₁₀₀=a₁+a₁₉₈，進而根據等差數列求和公式求得答案．

解答：解：∵a₉₉•a₁₀₀＜0，
∴a₉₉和a₁₀₀異號
∵a₁＞0，a₉₉+a₁₀₀＞0，
∴a₉₉＞0，a₁₀₀＜0，即a₁+99d＜0
∴2a₁+199d＜0，即a₉₉+a₁₀₁＜0，a₁₀₀+a₁₀₁＜0
∵a₉₉+a₁₀₀＞0，
∴在連續相鄰的兩項中，a₉₉+a₁₀₀＞0之后的和都將小于0．
要使S_n＞0成立，取最大自然數，n滿足
a₉₉+a₁₀₀=a₁+a₁₉₈，此時S_n=

(a 1+a 198)×198

2

＞0
∴n=198
故選A

點評：本題主要考查了等差數列的性質．考查了學生的推理能力和運算能力．