Question

正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn),另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y²=2px(p>0)上,求這個(gè)正三角形的邊長.

Answer 1

|AB|=2y₁=4p.

如圖,設(shè)正△OAB的頂點(diǎn)A、B在拋物線上,且它們的坐標(biāo)分別為(x₁,y₁)和(x₂,y₂),則y₁²=2px₁,y₂²=2px₂,又|OA|=|OB|,

∴x₁²+y₁²=x₂²+y₂²,即x₁²-x₂²+2px₁-2px₂=0.
∴(x₁-x₂)(x₁+x₂+2p)=0.∵x₁>1,x₂>0,2p>0,∴x₁=x₂.由此可得|y₁|=|y₂|,即線段AB關(guān)于x軸對稱.
由于AB垂直于x軸,且∠AOx=30°,∴=tan30°=.
而y₁²=2px₁,∴y₁=2p.于是|AB|=2y₁=4p.