Question

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，一條準線l：x＝2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設O為坐標原點，M是l上的點，F為橢圓C的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓D交于P，Q兩點．

①若PQ＝，求圓D的方程；

②若M是l上的動點，求證點P在定圓上，并求該定圓的方程．

 

Answer 1

(1) ＋y2＝1 (2)①(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x－1)2＋(y＋1)2＝2②點P在定圓x2＋y2＝2上

【解析】(1)由題設：，∴，∴b2＝a2－c2＝1，

∴橢圓C的方程為：＋y2＝1.

(2)①由(1)知：F(1,0)，設M(2，t)，

則圓D的方程：(x－1)2＋ 2＝1＋，

直線PQ的方程：2x＋ty－2＝0，

∵PQ＝，∴2＝，

∴t2＝4，∴t＝±2.

∴圓D的方程：(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x－1)2＋(y＋1)2＝2.

②設P(x0，y0)，

由①知：，

即：，

消去t得：＝2，

∴點P在定圓x2＋y2＝2上