Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，PB^平面ABCD，MA^平面ABCD，PB＝AB＝2MA.

求證：（1）平面AMD∥平面BPC；（2）平面PMD^平面PBD．

Answer 1

（1）根據三角形的中位線，結合MA∥平面BPC，同理DA∥平面BPC來證明面面平行。
（2）根據題意，由于PB^平面ABCD ，通過性質定理得到MF^BD ，進而證明MF^平面PBD，得證。

試題分析：證明：（Ⅰ）∵PB^平面ABCD，MA^平面ABCD，∴PB∥MA． 2分
∵PBÌ平面BPC，MA平面BPC，∴MA∥平面BPC．   4分
同理DA∥平面BPC，       5分
∵MAÌ平面AMD，ADÌ平面AMD，MA∩AD＝A，
∴平面AMD∥平面BPC．     7分
（Ⅱ）連結AC，設AC∩BD＝E，取PD中點F，連接EF，MF．
∵ABCD為正方形，∴E為BD中點．又F為PD中點，．
又，
∴．∴AEFM為平行四邊形．        10分
∴MF∥AE．
∵PB^平面ABCD，AEÌ平面ABCD，∴PB^AE．∴MF^PB．  12分
因為ABCD為正方形，∴AC^BD．∴MF^BD．
又，∴MF^平面PBD．                     13分
又MFÌ平面PMD．∴平面PMD^平面PBD．       14分
點評：解決該試題的關鍵是熟練的根據面面的位置關系，來結合判定定理來加以證明，屬于基礎題。