Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25及直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m∈R）
（1）證明：不論m取什么實數，直線l與圓C恒相交；
（2）求直線l與圓C所截得的弦長的最短長度及此時直線l的方程．

Answer 1

（1）直線方程l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，可以改寫為m（2x+y-7）+x+y-4=0，所以直線必經過直線2x+y-7=0和x+y-4=0的交點．由方程組

2x+y-7=0 x+y-4=0

解得

x=3 y=1

即兩直線的交點為A（3，1），
又因為點A（3，1）與圓心C（1，2）的距離d=

5

＜5，
所以該點在C內，故不論m取什么實數，直線l與圓C恒相交．
（2）連接AC，當直線l是AC的垂線時，此時的直線l與圓C相交于B、D．BD為直線l被圓所截得的最短弦長．此時，|AC|=

5

，|BC|=5，所以|BD|=2

25-5

=4

5

．即最短弦長為4

5

．
又直線AC的斜率kAC=-

1

2

，所以直線BD的斜率為2．
此時直線方程為：y-1=2（x-3），即2x-y-5=0．