Question

已知一個圓截y軸所得的弦長為2，被x軸分成的兩段弧長的比為3：1．
（1）設圓心（a，b），求實數a、b滿足的關系式；
（2）當圓心到直線l：x-2y=0的距離最小時，求圓的方程．

Answer 1

（1）設圓心P（a，b），半徑為r，則|b|=

r

2

，2b²=r²，①…（3分）
又|a|²+1=r²，所以a²+1=r²，②
聯立①②消去r得：2b²=a²+1；…（6分）
（2）點P到直線x-2y=0的距離d=

|a-2b|

5

，
5d²=a²-4ab+4b²≥a²+4b²-2（a²+b²）=2b²-a²=1，…（9分）
所以

a=b 2b2=a2+1

，
所以

a=1 b=1

，或

a=-1 b=-1

，…（11分）
所以（x-1）²+（y-1）²=2或（x+1）²+（y+1）²=2．…（13分）