Question

（2012•肇慶一模）如果實數x，y滿足等式（x-2）²+y²=3，那么

y

x

的最大值是

3

．

Answer 1

分析：設

y

x

=k，

y

x

的最大值就等于連接原點和圓上的點的直線中斜率的最大值，由數形結合法的方式，易得答案．

解答：解：設

y

x

=k，則y=kx表示經過原點的直線，k為直線的斜率．
所以求

y

x

的最大值就等價于求同時經過原點和圓上的點的直線中斜率的最大值．
從圖中可知，斜率取最大值時對應的直線斜率為正且與圓相切，
此時的斜率就是其傾斜角∠EOC的正切值．
易得|OC|=2，|CE|=r=

3

，可由勾股定理求得|OE|=1，
于是可得到k=tan∠EOC=

|CE|

|OE|

=

3

，即為

y

x

的最大值．
故答案為：

3

點評：本題考查直線與圓的位置關系，數形結合是解決問題的關鍵，屬中檔題．